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  • 平成31年7月31日(水)、弊社が企画した作文・小論文のDVD教材を作成するプロジェクトが、国が補助して推進する事業に認定されました。今後の私たちの活動にも、ぜひご注目くださいませ。<参考ページ

算数|難問の考え方と取り組み方の例

◆国が認定した教育事業となりました

平成31年7月31日(水)、弊社が企画した作文・小論文のDVD教材を作成するプロジェクトが、国の事業に認定されました。今後の活動にも、ぜひご注目くださいませ。<参考ページ

平成30年度 私立開成中学 大問3(最終問題)

  • ある整数を3種類以上並べる
  • 数字の個数分、数字を並べる(例えば5なら5個並べる)
  • 2通り以上ある場合、全て答える
小問
  1. 7マス四方の正方形にちょうど並べきるには、いくつからいくつまでの整数を並べればよいですか。
  2. 10マス四方の正方形にちょうど並べきるには、いくつからいくつまでの整数を並べればよいですか。
  3. 30マス四方の正方形にちょうど並べきる並べ方は何通りありますか。またそれぞれの並べ方は何種類の整数を使うか求めなさい。

解き方の検討

図1で、2は2個、3は3個、4は4個。「『2+3+4』で9マス」という計算がすがぐ頭に出てくる子は、この問題はほとんど時間をかけずにとくことができるでしょう。

一方、それがすぐに思いつかなければ、試しに書いてみるしかありません。

小問へのアプローチ

小問1

試しに書いてみる

7マスの方眼を、コピー用紙の裏紙などに、思い思いの数字を書いてもらうところからスタートです。

書かなければならないのは、せいぜい49個の数字です。ミスがなければ、2つ書いても2~3分で書き終わるはずなのです。

ヒントを出す

2つぐらい書き終わったところで、必要そうであれば、ヒントを出します。

5マスだったら、5×5で、足して25の数字になるような3種類以上の数字を準備しなければならない。そういう法則になっています。

正解は…

正解は『4~10』です。

1からスタートしても、そう時間をかけずにたどり着けそうです。

小問2

小問2は、2つの解答があります。それを両方書いて、正解になります。

10マスなので、合計で100になる組み合わせを考えます。しかし、この段階では、やり方自体は分かってきているはずです。

仮説を立てる

7+8+9+10+11+12+13+14+15 =99

8+9+10+11+12+13+14+15+16 =108

9+10+11+12+13+14+15+16 =100

上手に仮説を立てられたら、試しにやってみた数字で、いきなり解答が出てくることもあるかもしれません。

試しにやってみる

1個ずつ試していけば、絶対に正解にたどり着きます。そんなに時間のかかる作業ではありません。

この作業怠る理由は、単に「面倒だから」という結論以外ありません。

10+11+・・・・ 11+12+・・・・ 12+13+・・・・

18+19+20+21+22 =100

これで2つ目の解答にもたどりつきました。

小問3

小問3は、この問題特有の法則に気付けているかどうかが、素早く解けるかどうかのポイントです。

この問題は、30×30で、『足して900にする』問題です。

仮説を立てる
  • 3個の数字を足して900を作れる?
  • 4個の数字を足して900を作れる?
  • 5個の数字を足して900を作れる?

このように、「何個の数字の足し算で、目標の数字を作るのか」という流れがあることに気付けていれば、すぐ解けます。

試しにやってみる

気合で全部書いていけば、正解にたどりつくことだって、不可能ではありません。

試験場で、時間が余っているなら、1問でも拾うために、そういうチャレンジをしてみる必要はあります。

ただし、演習としては、時間効率がよくありません。ですから、たくさん書く中で、自分で法則にたどりつけなさそうなら、ヒントを出して発見を促します。

本番での考え方

  • 正解にたどりつけると信じる
  • たどりつくまで検証してみる

普段の指導、普段の演習で、このような発想をしっかり身につけておきましょう。そうすることで、本番でも、粘り強く頑張れるようになります。